수학을 재밌게 하는 책 페르마의 마지막 정리_너무나 흥미진진한 수학의 세계

/수학을 재밌게 하는 책 페르마의 마지막 정리/

너무나 흥미진진한 수학의 세계

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피에르 페르마(Pierre   de   Fermat)프랑스의 수학자이자 17세기 최고의 수학자로 근대의 정수 이론 및 확률론의 창시자로 알려져 있고, 좌표기하학을 확립하는 데도 크게 기여하였다.

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『자연수 X, Y, Z 는 반드시 서로 소인 관계로서 존재하여야 합니다.
또한 이들 X, Y, Z 의 자연수 차인 A, B, C 가 존재하여야 됩니다. 이들의 상호 관계에서,
홀수와 짝수를 판별 규명함으로서, 지수 n 이 3 이상이 될 경우에는,
자연수 X, Y, Z 가 존재할 수 없음을 증명한 것입니다. 
<증명>X^n + Y^n = Z^n 에서, X < Y < Z 라 하자.X + A = Y,Y + B = Z,X + C = Z, A +B = C 를
만족하는 A, B, C 를 정하자.X^n + Y^n = (Y+B)^n에서, X^n = nBY^(n-1) + … + nB^(n-1)Y + B^n 이 되고,
X^n + Y^n = (X+C)^n 에서, Y^n = nCX^(n-1) + … + nC^(n-1)X + C^n 이 되며,
X^n + (X+A)^n = Z^n 에서, Z^n = 2X^n + nAX^(n-1)+ … + nA^(n-1)X + A^n 이 된다.
자연수로서 X, Y, Z 세 개 중에서 두 개 이상이 짝수가 되면, X, Y, Z 는 서로 소인 관계가 될 수가 없다.
따라서 X, Y, Z 는 두 개 이상이 짝수가 될 수는 없다.그리고 자연수로서 X, Y, Z 는 모두 다 홀수가 될 수는 없다.
만약 이 들이 모두 다 홀수가 되면, 이 들의 차인 A, B, C 는 모두 다 짝수가 된다.
그렇게 되면 위의 식에서 나타나는 바와 같이 X, Y, Z 는 모두 다 홀수이고, X^n, Y^n, Z^n 은
모두 다 짝수가 되는 모순이 발생한다. 따라서 X, Y, Z 세 개가 모두 다 홀수가 될 수 없다. 
그러므로 결론적으로 X, Y, Z 중에서 한 개만 짝수가 되고, 다른 2개는 홀수가 되어야만 한다.
경우1) Z는 짝수 X, Y 는 홀수 가 되는 경우Z = 2S라 하자.
(단, S는 자연수)X^n + Y^n = Z^n 는 (X/2)^n + (Y/2)^n = S^n 이 된다.
이 때 (X/2)와 (Y/2)는 모두 다 소수점이하 한 자리 수가 된다.(X, Y는 홀수 임으로) 
따라서 (X/2)^n 과 (Y/2)^n 는 모두 다 소수점이하 여러 자리의 수가 된다.
결과적으로 자연수인 S는 존재하지 않고, Z 또한 존재할 수가 없다.
경우2) X 가 짝수이고, Y, Z가 홀수인 경우X = 2V라 하자 (단, V는 자연수)Y^n = nCX^(n-1) + … + nC^(n-1)X + C^n 에서,Y^n = nC(2V)^(n-1) + … + nC^(n-1)(2V) + C^n 이 되며, {1/2^(n-1)}Y^n = nCV^(n-1) + … + nC^(n-1){1/2^(n-2)}V + {1/2^(n-1)}C^n 이 된다.위 식에서 Y 와 C 는 홀수이다. 그리고 V 의 계수에 {1/2^(n-2)} 이 존재하고 있다.
분모에 있는 2 의 지수가 n-2 임에 유념하자. {1/2^(n-1)}(C^n-Y^n) 의 인수인 (C^n-Y^n) 이 짝수가 된다.
그러므로 {1/2^(n-1)} 에서 분모에 있는 2 의 지수인 n-1 은, 결국에는 n-2 이하의 보다 더 낮은 차원의 지수가 된다.
따라서 n 이 3 이상일 때에는 자연수인 V, 즉 X 는 존재할 수 없다. (n이 1과 2일때는 성립한다)경우3) Y가 짝수이고, X, Z가 홀수 인 경우 Y = 2W (단, W는 자연수)X^n = nBY^(n-1) + … + nB^(n-1)Y + B^n 에서,X^n = nB(2W)^(n-1) + … + nB^(n-1)(2W) + B^n 이 되며,{1/2^(n-1)}X^n = nBW^(n-1) +…+ nB^(n-1){1/2^(n-2)}W + {1/2^(n-1)}B^n 이 된다.
위 식에서 X 와 B 는 홀수이다. 그리고 W 의 계수에 {1/2^(n-2)} 이 존재하고 있다. 분모에 있는 2 의 지수가 n-2 임에 유념하자. {1/2^(n-1)}(B^n-X^n) 의 인수인 (B^n-X^n) 은 짝수가 될 수밖에 없다. 그러므로 {1/2^(n-1)} 에서 분모에 있는 2 의 지수인 n-1 은, 결국에는 n-2 이하의 보다 더 낮은 차원의 지수가 된다. 따라서 n 이 3 이상일 때에는 자연수인 W, 즉 Y 는 존재하지 않는다. 결론, X^n + Y^n = Z^n 에서 X, Y, Z 가 서로 소인 자연수로 존재하기 위하여서는 이들 세 개 중에서 한 개만이 짝수가 되고, 다른 두 개는 홀수가 되어야 한다. 그런데 Z 는 짝수가 될 수는 없다. 따라서 X, Y 둘 중에 한 수는 짝수가 되고, 다른 한 수는 홀수가 되어서 존재해야한다. 그러나 n 이 3 이상일 경우에는, X, Y 는 자연수로서는 존재할 수가 없게 된다. 즉, n 이 3 이상의 자연수일 때, 방정식 X^n + Y^n = Z^n 을 만족하는 양의 정수X, Y, Z 는 존재하지 않는다.  

 

벌써부터 악~하는 비명소리가 들려 오는듯 합니다. 난해한 수학 공식이 눈앞에 펼쳐지시니 난감하실 것도 같네요. 마음이가 좀 더 일찍 이 책과 주인공 페르마를 접했다면 수학이 기호로 가득한 난 해한 학문이 아닌 제법 관심과 흥미를 유발하는 학문이 되었을텐데 하는 아쉬움 이 있어 이 천재 수학자와 그에 관한 책을 소개해 드릴려고 합니다.마음이처럼 수 학에 몸서리치는 인물도 흠벅 빠지게 했으니 아마도 여러분은 이 책을 읽으면 거 의 수학의 천재급이 되지 않을까하는 추측도 해본다는,그럼 일단 페르마라는 인물 에 대한 탐구부터 해보자구요. 페르마 취미삼아 수학을 한 아마추어 수학자였습니 다.(큭, 좌절 모드) 근데 이 취미로 한 수학이 수학사에 엄청난 영향을 끼쳤다면 믿어지십니까?그 중 사람들의 관심을 불러 모은 가장 큰 관심거리는 삼백여 년 동안 수학자들을  끙끙거리게 만들고, 현상금 마저 걸린 ‘페르마의 마지막 정리’입니다.맨 위의 공식  말입니다. 페르마의 마지막 정리는 고대 그리스에서부터 전해 내려온<산술>과 함께 시작되었습니다. 디오판토스가 쓴 <산술>을 천년이 지난 후에 페르마가 읽었고, 페르마가 <산술>의 여백에 적은 정리를 삼백여 년 후에 와일스라는 수학학자가 증명합니다.그리고 폐르마의 마지막 정리를 증명하는 과정에서 생겨난 문제들이 수학의 여러 분야를 발전시켰지요. 와일스는 페르마의 마지막 정리를 각고의 노력 끝에 1993년 증명하는데 성공하지만 그런데 그만 오류가 발견됩니다.수학의 세계에서는 아주 작은 오류도 인정되지 않기에 와일스는 다시 절치부심,노력의 노력끝에 2년후인 1995년, 마침내 페르마의 마지막 정리를 완벽하게 증명해냅니다.

 

 

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앤드루 존 와일스(Andrew John Wiles, 1953년 4월 11일 ~ )는 영국의 수학자 1974년에 옥스퍼드 대학교의 머튼 칼리지에서 학사 학위를 받고 1979년에 케임브리지 대학교의 클레어 칼리지에서 박사 학위를 받았고, 프린스턴 대학교의 교수였다. 1994년에 (리처드 테일러의 도움으로) 페르마의 마지막 정리를 증명했다.수학에서 가장 권위있는 상인 필즈 메달은 나이 40세 미만 조건에 걸려 수상하지 못했으나, 대신 국제 수학자 연맹에서 1998년 기념 은판을 제작해 수여하였다. 엄밀히는 필즈 메달 수상자가 아니지만, 기념 은판을 제작해 수여했다는 사실을 필즈 메달 수상자의 공식 명단에 같이 게재해 주었다.이 아마추어 수학자 페르마의 업적은 이것뿐 만이 아닙니다.페르마는 평면을 넷으로 나누었어요. 어,다 알고 있는거잖아!하실분들 많겠지만 평면은 수학에서 중요한 연구 대상이었다는군요.평면을 놓고 연구 할 때, 그전에는 판자처럼 평평한 것을 평면으로 생각했다는군요.그런데 페르마는 눈금을 선을 가로로 세로로 놓아, 평면을 네 개로 나누었어요. 눈금이 있는 가로 선과 세로 선은 직각을 이루고 있지요. 네 개로 나눈 평면의 이름은 각각 1사분면, 2사분면, 3사분면, 4사분면에요.평면 위의 어떤 점을 ‘좌표’라고 하는데, 네 개로 나눈 평면은 좌표를 나타내기 쉬어 집니다. 또한 좌표의 움직임까지 나타낼 수 있지요. 이러한 연구는 ‘해석기하학’으로 수학사에서 한 획을 그은 위대한 업적입니다.하지만 페르마는 당시 연구 결과를 발표하진 않았는데 이러한 내용은 페르마의 편지를 주고받았던 데카르트가 발표 했지요. 또한 페르마는 파스칼과 편지를 주고받으면서 ‘확률론’의 기초를 세우는 데도 이바지했습니다.확률론은 게임에서 이길 확률을 구하는 데서 비롯되었는데요. 일기 예보에서 많이 볼 수 있지요. 날씨 같은 자연 현상을 예측할 때 확률이 쓰이고 휴대전화요금, 증권의 펀드 시세 예측, 보험 상품 개발 등 경제와 금융에서 확률은 아주 중요합니다. 또 페르마는 ‘미적분학’을 이끌어 내기도 했어요.미적분학의 창시자로 뉴턴과 라이프니츠가 널리 알려져 있는데요. 놀랍게도 두 사람이 태어나기도 전에 페르마가 기본 개념을 세웠다는게 밝혀졌습니다. 미적분’이란 서로 반대 개념인 미분과 적분을 아우르는 말인데,. ‘미분’에는 잘게 쪼갠다는 뜻이, 적분’에는 다시 합친다는 뜻이 있으니 미적분학은 변화율을 나타내지요. 그래서 과학 분야, 경제학 분야, 사회학 분야, 사회학 분야 등 변화가 일어나는 모든 곳에 아주 다양하게 쓰이지요. 법률가 이면서 취미 삼아 수학을 했다는 페르마 이야기는 정말 드라마틱하고 경이롭습니다. 게다가 취미 수학으로 수학의 발전에 커다란 영향을 끼친 페르마의 정수론, 기하학, 확률론 등에서 찬연하게 빛나게 있으며 무엇보다 수의 성질을 연구하는 ‘정수론’에 크나큰 업적을 남겨 ‘현대 정수론의 아버지’라고 불리웁니다.